МЕТОД НЬЮТОНА ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Образец для цитирования:
Предложена модификация метода степенных рядов Ньютона для решения нелинейных обыкновенных и неинтегрируемых эволюционных уравнений. На первом этапе метода определяется несколько первых членов степенного ряда для искомой зависимой переменной. Для этого используется либо прямое разложение в степенной ряд по независимой переменной с последующей подстановкой в уравнение, либо разложение в функциональный ряд метода возмущений по степеням формального параметра. Во втором случае последовательное решение уравнений метода возмущений позволяет выразить члены ряда в форме возрастающих натуральных степеней экспоненциального решения линеаризованной задачи и получить степенной ряд после соответствующей замены. На втором этапе метода постулируется геометричность полученного степенного ряда. Для большинства интегрируемых уравнений такой ряд оказывается безусловно геометрическим, то есть найденные слагаемые составляют последовательность геометрической прогрессии. Для многих неинтегрируемых уравнений возникают условия, связывающие коэффициенты уравнения с параметрами искомого решения, при выполнении которых члены ряда образуют геометрическую прогрессию. В этих случаях сумма геометрической прогрессии есть точное решение исходного уравнения. Показано, что знаменатель прогрессии представляется многочленом, степень которого не может быть меньшей порядка полюса решения уравнения. Эффективность метода продемонстрирована на нелинейном обыкновенном дифференциальном уравнении третьего порядка и семействе обобщенных эволюционных уравнений Курамото–Сивашинского, для которых построены точные рациональные и уединенно-волновые решения. Указаны достоинства и недостатки предложенного метода по сравнению с другими известными методами решения нелинейных дифференциальных уравнений.
1. Ньютон И. Математические работы. Пер. с лат. Д.Д. Мордухай-Болтовского. Москва–Ленинград: ОНТИ, 1937. 478 с.
2. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук – первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. Серия «Современная математика для студентов». Москва: Наука, 1989. 96 с.
3. Демина М.В., Кудряшов Н.А., Синельщиков Д.И. Метод многоугольников для построения точных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений для описания волн на воде // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, No 12. С. 2151–2162.
4. Khovanskii A.G. The Geometry of Formulas. Singularities of Functions, Wave Fronts, Caustics and Multidimensional Integrals // V.I. Arnold at al. Math. Phys. Rev. Vol. 4. New York: Harwood, 1984. P. 67–92.
5. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения. Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 464 с.
6. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1992. 544 с.
7. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Метод возмущений и точные решения уравнений нелинейной динамики сред с микроструктурой // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9, No 2. С. 182–191.
8. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби, метод возмущений и точные решения нелинейных эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, No 4. с. 71–85.
9. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations. Chichester, UK: John Wiley & Sons, 1999.
10. Конт Р., Мюзетт М. Метод Пенлеве и его приложения. Москва: Ин-т компьютер. исслед.; Ижевск: Регуляр. и хаотич. динамика, 2011. 315 с.
11. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд. Дом «Интеллект», 2010. 368 с.
12. Hereman W., Banerjee P.P., Korpel A., Assanto G., Immerzeele A. van, Meerpoel A. Exact solitary wave solutions of non-linear evolution and wave equations using a direct algebraic method // J. Phys. A: Math. Gen. 1986. Vol. 19. P. 607–628.
13. Conte R., Musette M. Link between solitary waves and projective Riccati equations// J. Phys. A: Math. Gen. 1992. Vol. 25. P. 5609–5623.
BibTeX
author = {Александр Исаевич Землянухин and Андрей Владимирович Бочкарёв},
title = {МЕТОД НЬЮТОНА ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ},
year = {2017},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {25},number = {1},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/ru/articles/metod-nyutona-postroeniya-tochnyh-resheniy-nelineynyh-differencialnyh-i-neintegriruemyh},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2017-25-1-64-83},pages = {64--83},issn = {0869-6632},
keywords = {Геометрический ряд,метод возмущений,нелинейные эволюционные уравнения,точные решения},
abstract = {Предложена модификация метода степенных рядов Ньютона для решения нелинейных обыкновенных и неинтегрируемых эволюционных уравнений. На первом этапе метода определяется несколько первых членов степенного ряда для искомой зависимой переменной. Для этого используется либо прямое разложение в степенной ряд по независимой переменной с последующей подстановкой в уравнение, либо разложение в функциональный ряд метода возмущений по степеням формального параметра. Во втором случае последовательное решение уравнений метода возмущений позволяет выразить члены ряда в форме возрастающих натуральных степеней экспоненциального решения линеаризованной задачи и получить степенной ряд после соответствующей замены. На втором этапе метода постулируется геометричность полученного степенного ряда. Для большинства интегрируемых уравнений такой ряд оказывается безусловно геометрическим, то есть найденные слагаемые составляют последовательность геометрической прогрессии. Для многих неинтегрируемых уравнений возникают условия, связывающие коэффициенты уравнения с параметрами искомого решения, при выполнении которых члены ряда образуют геометрическую прогрессию. В этих случаях сумма геометрической прогрессии есть точное решение исходного уравнения. Показано, что знаменатель прогрессии представляется многочленом, степень которого не может быть меньшей порядка полюса решения уравнения. Эффективность метода продемонстрирована на нелинейном обыкновенном дифференциальном уравнении третьего порядка и семействе обобщенных эволюционных уравнений Курамото–Сивашинского, для которых построены точные рациональные и уединенно-волновые решения. Указаны достоинства и недостатки предложенного метода по сравнению с другими известными методами решения нелинейных дифференциальных уравнений. Скачать полную версию }}