BIFURCATIONS IN VAN DER POL OSCILLATOR WITH A HARD EXCITATION IN A PRESENCE OF PARAMETRICAL NOISE: QUASI-HARMONIC ANALYZES AND THE NUMERICAL SIMULATIONS
Cite this article as:
Vadivasova Т. Е., Malyaev V. S. BIFURCATIONS IN VAN DER POL OSCILLATOR WITH A HARD EXCITATION IN A PRESENCE OF PARAMETRICAL NOISE: QUASI-HARMONIC ANALYZES AND THE NUMERICAL SIMULATIONS. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2013, vol. 21, iss. 2, pp. 113-134. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2013-21-2-113-134
In the work the behavior of a van der Pol oscillator with a hard excitation is considered near the excitation threshold under parametrical (multiplicative) Gaussian white noise disturbances, and in a case of the two noise sources presence: parametrical one and additive noise. The evolution of probability distribution is studied when a control parameter and a noise intensity are changed. A comparison of the theoretical results, obtained in the quasi-harmonic approach with the results of numerical solutions of the oscillator stochastic equations is fulfilled.
1. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.
2. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.
3. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.
4. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.
5. Risken Z. The Fokker-Planck Equation. Berlin: Springer, 1989.
6. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990.
7. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975.
8. Хорстнемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987.
9. Arnold L. Random dynamical systems. Berlin, Spriger, 2003.
10. Kabashima S., Kawakubo T. Observation of a noise induced phase transition in a parametric oscillator // Phys. Lett. A. 1979. Vol. 70. P. 375.
11. Wiesenfeld K. Noisy precursors of nonlinear instabilities // J. Stat. Phys. 1985. Vol. 58. P. 1071.
12. Ebeling W., Herzel H., Richert W., Schimansky-Geier L. Influence of noise on Duffing–van der Pol oscillator // Zeitschrift f. Angew. Math. U. Mechanik. 1986. Vol. 66. P. 141.
13. Franzoni L., Mannella R., McClintock P., Moss F. Postponement of Hopf bifurcations by multiplicative colored noise // Phys. Rev. F. 1987. Vol. 36. P. 834.
14. Namachshivaya N.S. Stochastic bifurcation // Apl. Math. and Computation. 1990. Vol. 38. P. 101.
15. Schenk-Yopp ́e K.R. Bifurcation scenarious of the noisy Duffing–van der Pol oscillator // Nonlinear Dynamics. 1996. Vol. 11. P. 255.
16. Landa P.S., Zaikin A.A. Noise-induced phase transitions in a pendulum with a randomly vibrating suspension axis. // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54, No 4. P. 3535.
17. Crauel H., Flandol F. Additive noise destroys a pitchfork bifurcation // Journal of Dynamics and Differential Equations. 1998. Vol. 10. P. 259.
18. Вадивасова Т.Е., Анищенко В.С. Стохастические бифуркации // Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, No 5. С. 3.
19. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to multiplicative colored noise // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56. P. 1631.
20. Arnold L., Sri Namachshivaya N., Schenk-Yopp ́e K.R. Toward an understanding ofstochastic Hopf bifurcation: A base study // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6. P. 1947.
21. Olarrea J., de la Rubia F.J. Stochastic Hopf bifurcation: The effect of colored noise on the bifurcational interval // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, No 1. P. 268.
22. Zakharova A., Vadivasova T.E., Anishchenko V., Koseska A., Kurths J. Stochastic bifurcations and coherencelike resonance in a self-sustained bistable noisy oscillator // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81, No 1. P. 011106(1–6).
23. Xu Y., Gu R., Zhang H., Xu W.. Duan J. Stochastic bifurcations in a bistable Duffing–van der Pol Oscillator with colored noise // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 83. P. 056215(1–7).
24. Bashkirtseva I., Ryashko L., Schurz H. Analysis of noise-induced transitions for Hopf system with additive and multiplicativt random disturbances // Chaos, Solitons, and Fractals. 2009. Vol. 39. P. 7.
25. Медведев С.Ю., Музычук О.В. Статистические характеристики нелинейной резонансной системы, параметрически возбуждаемой случайной силой // Изв.вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24, No 1. С. 49.
26. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В., Ряшко Л.Б. Анализ индуцированных шумом бифуркаций в системе Хопфа // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, No 1. С. 37.
27. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.
28. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1976.
29. Стратонович Р.Л., Романовский Ю.М. Одновременное параметрическое воздействие гармонической и случайной силы на колебательные системы // Научные доклады высшей школы. Физ.-мат. науки. 1958. Т. 4. С. 161.
30. Музычук О.В. О вероятностных характеристиках резонансной стохастической системы // Известия вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23, No 6. С. 707.
31. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Time-varing linearization and the Perron effects // Internat. Journal of Bifurcation and Chaos. 2007. Vol. 17, No 4. P. 1079.
32. Никитин Н.Н., Разевиг В.Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т. 18, No 1. С. 107.
BibTeX
author = {Т. Е. Vadivasova and V. S. Malyaev },
title = {BIFURCATIONS IN VAN DER POL OSCILLATOR WITH A HARD EXCITATION IN A PRESENCE OF PARAMETRICAL NOISE: QUASI-HARMONIC ANALYZES AND THE NUMERICAL SIMULATIONS},
year = {2013},
journal = {Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics},
volume = {21},number = {2},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/en/articles/bifurcations-in-van-der-pol-oscillator-with-hard-excitation-in-presence-of-parametrical},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2013-21-2-113-134},pages = {113--134},issn = {0869-6632},
keywords = {noise,fluctuations,self-sustained oscillator,stochastic bifurcations,subcritical Andronov–Hopf bifurcation.},
abstract = {In the work the behavior of a van der Pol oscillator with a hard excitation is considered near the excitation threshold under parametrical (multiplicative) Gaussian white noise disturbances, and in a case of the two noise sources presence: parametrical one and additive noise. The evolution of probability distribution is studied when a control parameter and a noise intensity are changed. A comparison of the theoretical results, obtained in the quasi-harmonic approach with the results of numerical solutions of the oscillator stochastic equations is fulfilled. }}