HYPERBOLIC STRANGE ATTRACTORS OF PHYSICALLY REALIZABLE SYSTEMS
Cite this article as:
Kuznetsov S. P. HYPERBOLIC STRANGE ATTRACTORS OF PHYSICALLY REALIZABLE SYSTEMS. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2009, vol. 17, iss. 4, pp. 5-34. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2009-17-4-5-34
A review of studies aimed on revealing or constructing physical systems with hyperbolic strange attractors, like Plykin attractor and Smale–Williams solenoid, is presented. Examples of iterated maps, differential equations, and simple electronic devices with chaotic dynamics associated with such attractors are presented and discussed. A general principle is considered and illustrated basing on manipulation of phases in alternately excited oscillators and timedelay systems. Alternative approaches are reviewed outlined in literature, as well as the prospects of further researches.
1. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. (NS). 1967. Vol. 73. P. 747.
2. Williams R.F. Expanding attractors // Publications mathematiques de l’I.H.E.S. 1974. Vol. 43. P. 1693.
3. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // В кн. Нелинейные волны / Ред. А.В. Гапонов–Грехов. М.: Наука, 1979. С. 192.
4. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления // Итоги науки и техники, т. 2 / Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. М.: Изд. ВИНИТИ АН СССР, 1985. 310 c.
5. Eckmann J.-P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. Vol. 57. P. 617.
6. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, No 9. P. 1353.
7. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / Пер. с англ. М.: Изд. «Факториал», 1999. 768 c.
8. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.
9. Afraimovich V., Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2003, 353 pp.
10. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. М.: МЦНМО, 2005. 464 с.
11. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
12. Barreira L., Pesin Y. Lectures on Lyapunov exponents and smooth ergodic theory // In book: «Smooth Ergodic Theory and Its Applications», AMS, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 2001. C. 3.
13. Bonatti C., Diaz L.J., Viana M. Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity. A global geometric and probobalistic perspective // Encyclopedia of Mathematical Sciences. Vol. 102. Springer: Berlin, Heidelberg, New-York, 2005. 384 p.
14. Benedicks M. and Carleson L. The dynamics of the Henon map // Ann. of Math. ́ 1991. (2) 133. P. 73.
15. Halbert J.T., Yorke J.A. Modeling a chaotic machine’s dynamics as a linear map on a «square sphere», http://www.math.umd.edu/ ̃halbert/taffy-paper-1.pdf.
16. Sinai J.G., Vul E.B. Hyperbolicity conditions for the Lorenz model // Physica D2. 1981. P. 3.
17. Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Проверка условий гиперболичности хаотического аттрактора в системе связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14, No 5. C. 3.
18. Kuznetsov S.P. Plykin-type attractor in nonautonomous coupled oscillators // CHAOS. 2009. Vol. 19, No 1. P. 013114.
19. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-auto-nomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones // Physics Letters. 2007. Vol. A365, No 1-2. P. 97.
20. Кузнецов С.П. Пример неавтономной системы с непрерывным временем, имеющей аттрактор типа Плыкина в отображении Пуанкаре // Нелинейная динамика. 2009. Vol. 5, No 3.
21. Newhouse S.E. Lectures on dynamical systems // In Dynamical Systems C.I.M.E. Lectures Bressanone, Italy, June 1978, 1–114. Progress in Mathematics, No 8, Birkhauser–Boston: Boston. ̈
22. Hunt T.J. Low Dimensional Dynamics: Bifurcations of Cantori and Realisations of Uniform Hyperbolicity. PhD Thesis. Univercity of Cambridge, 2000. 121 p.
23. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 304 с.
24. Айдарова Ю.С., Кузнецов С.П. Хаотическая динамика модели Ханта – искусственно сконструированной потоковой системы с гиперболическим аттрактором // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, No 3. P. 176.
25. Kuznetsov S.P. A non-autonomous flow system with Plykin type attractor // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2009. Vol. 14. P. 3487.
26. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 144101.
27. Кузнецов С.П., Исаева О.Б., Осбалдестин А. Феномены комплексной аналитической динамики в системе связанных неавтономных осцилляторов с поочередным возбуждением // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. Вып. 17. С. 69.
28. Жалнин А.Ю., Кузнецов C.П. О возможности реализации в физической системе странного нехаотического аттрактора Ханта и Отта // ЖТФ. 2007. Т. 77, No 4. С. 10.
29. Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica. 2007. Vol. D232. P. 87.
30. Кузнецов C.П. О возможности реализации параметрического генератора гиперболического хаоса // ЖЭТФ. 2008. Vol. 133, No 2. P. 438.
31. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Пиковский А.С., Тюрюкина Л.В. Хаотическая динамика в системах связанных неавтономных осцилляторов с резонансным и нерезонансным механизмом передачи возбуждения // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, No 6. C. 75.
32. Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S., Sataev I.R. Hyperbolic Smale–Williams attractor in Poincare map of a four-dimensional autonomous system // Proc. of the III Int. Conf. «Frontiers of Nonlinear Physics». Nizhny Novgorod–Saratov–Nizhny Novgorod, July 3–9, 2007, 66-67.
33. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла–Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. Вып. 18. C. 1.
34. Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S. Hyperbolic chaos in the phase dynamics of a Q-switched oscillator with delayed nonlinear feedbacks // Europhysics Letters. 2008. Vol. 84. P. 10013.
35. Баранов С.В., Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. Хаос в фазовой динамике осциллятора ван дер Поля c модулированной добротностью и дополнительной запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Принята к печати.
36. Кузнецов C.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла–Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, No 2. C. 400.
37. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // В сб. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. С. 117.
38. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange Axiom-A attractors near quasi periodic flows on T
39. Hunt T.J., MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Vol. 16. P. 1499.
40. Belykh V., Belykh I., Mosekilde E. The hyperbolic Plykin attractor can exist in neuron models // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, No 11. P. 3567.
41. Шильников Л.П., Тураев Д.В. О катастрофах голубого неба // Доклады РАН. 1995. Т. 342. С. 596.
42. Shil’nikov L.P., Turaev D.V. Simple bifurcations leading to hyperbolic attractors // Computers Math. Appl. 1997. Vol. 34, No 2–4. P. 173.
43. Gavrilov N.K., Shilnikov A.L. An example of blue sky catastrophe // In: Methods of qualitative theory of differential equations and related topics. Amer. Math. Soc. Transl., II Ser. Vol.200, AMS, Providence, RI, 1999, 165–188.
44. Shilnikov A., Cymbalyuk G. Transition between tonic spiking and bursting in a neuron model via the blue-sky catastrophe // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 048101.
45. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // В сб. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. С. 88. m, m ≥ 3 // Comm. Math. Phys. 1978. Vol. 64. P. 35.
46. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem // Comp. Math. 2002. Vol. 2. P. 53.
47. Morales C.A. Lorenz attractor through saddle-node bifurcations // Ann. de l’Inst. Henri Poincare. 1996. Vol. 13. P. 589. ́
48. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. 252 c.
BibTeX
author = {Sergey P. Kuznetsov},
title = {HYPERBOLIC STRANGE ATTRACTORS OF PHYSICALLY REALIZABLE SYSTEMS},
year = {2009},
journal = {Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics},
volume = {17},number = {4},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/en/articles/hyperbolic-strange-attractors-of-physically-realizable-systems},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2009-17-4-5-34},pages = {5--34},issn = {0869-6632},
keywords = {Attractor,dynamical system,Poincar ́ e map,Smale–Williams solenoid,Plykin attractor,hyperbolic chaos,oscillator,chaos generator.},
abstract = {A review of studies aimed on revealing or constructing physical systems with hyperbolic strange attractors, like Plykin attractor and Smale–Williams solenoid, is presented. Examples of iterated maps, differential equations, and simple electronic devices with chaotic dynamics associated with such attractors are presented and discussed. A general principle is considered and illustrated basing on manipulation of phases in alternately excited oscillators and timedelay systems. Alternative approaches are reviewed outlined in literature, as well as the prospects of further researches. }}