АТТРАКТОР ТИПА ЛОРЕНЦА В ЭЛЕКТРОННОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ГЕНЕРАТОРЕ И ЕГО ТРАНСФОРМАЦИЯ ПРИ НАРУШЕНИИ ТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА
Образец для цитирования:
В работе рассматривается параметрический генератор, схема которого содержит три колебательных контура и квадратичный нелинейный реактивный элемент на основе операционного усилителя и аналогового умножителя, получены уравнения для амплитуд взаимодействующих мод.
Обращение к данной задаче имеет целью реализовать механизм параметрического взаимодействия колебательных мод, приводящий к возникновению странного аттрактора типа Лоренца, без искажений вносимых нелинейностями порядка три и выше, отвечающих за переход от квазигиперболического аттрактора к квазиаттрактору.
Исследование основано на сочетании схемотехнического моделирования с использованием программного продукта Multisim и численного решения сформулированных уравнений динамики системы в исходной форме и в виде редуцированных уравнений для медленно меняющихся комплексных амплитуд.
Предложенная схема является новой и впервые позволяет в чистом виде наблюдать в радиотехническом устройстве распадный механизм генерации хаоса, описанный в свое время Пиковским, Рабиновичем и Трахтенгерцем применительно к параметрическому взаимодействию волн в магнитоактивной плазме. Помимо демонстрации аттрактора типа Лоренца и характерных для него особенностей динамики в рамках схемотехнического моделирования и на основе численного решения уравнений в условиях точного выполнения условий параметрического резонанса, проведено исследование трансформации аттрактора при введении отстройки частот и представлена соответствующая карта режимов на плоскости параметров.
Показано, что при отклонении по частотам от точного параметрического резонанса вместо квазигиперболического аттрактора типа Лоренца реализуются аттракторы, хотя и обладающие с ним внешним сходством, но отличающиеся отсутствием робастности – при вариации параметров возможно разрушение хаоса с возникновением регулярных режимов.
1. Пиковский А.С., Рабинович М.И., Трахтенгерц В.Ю. Возникновение стохастичности при распадном ограничении параметрической неустойчивости // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. С. 1366–1374.
2. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике. М.: ИЛ, 1963. 352 c.
3. Ахманов C.А., Хохлов Р.В. Параметрические усилители и генераторы света // УФН. 1966. Т. 88, No 3. С. 439–460.
4. Островский Л.А., Папилова И.А., Сутин А.М. Параметрический генератор ультразвука // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 15, No 8. C. 456–458.
5. Акуленко Л.Д. Параметрическое управление колебаниями и вращениями физического маятника (качели) // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 82–91.
6. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, No 2. P. 130–141.
7. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. NY, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1982. 270 p.
8. Кузнецов C.П. Динамический хаос. Москва: Физматлит, 2001. 296 с.
9. Анищенко В.C. Аттракторы динамических систем //Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, No 1. C. 109–127.
10. Bonatti C., Diaz L.J., Viana M. Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity. A Global Geometric and Probobalistic Perspective. Encyclopedia of Mathematical Sciences. Vol. 102. Springer: Berlin, Heidelberg, New-York, 2005. 384 p.
11. Banerjee S., Yorke J.A., Grebogi C. Robust chaos // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80. P. 3049–3052.
12. Elhadj Z. and Sprott J.C. Robust Chaos and its Applications. Singapore: World Scientific, 2011. 454 p.
13. Ораевский А.Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, No 1. C. 130–142.
14. Ораевский А.Н. Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4, No 1. C. 3–13.
15. Haken H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers // Physics Letters A. 1975. Vol. 53, No 1. P. 77–78.
16. Kola ́rˇ M., Gumbs G. Theory for the experimental observation of chaos in a rotating waterwheel // Physical Review A. 1992. Vol. 45, No 2. P. 626–637.
17. Глуховский А.Б. Нелинейные системы, являющиеся суперпозициями гиростатов // ДАН СССР. 1982. Т. 266. No 4. C. 816–820.
18. Doroshin A.V. Modeling of chaotic motion of gyrostats in resistant environment on the base of dynamical systems with strange attractors // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. Vol. 16, No 8. P. 3188–3202.
19. Chen H.K., Lee C.I. Anti-control of chaos in rigid body motion // Chaos, Solitons& Fractals. 2004. Vol. 21, No 4. P. 957–965.
20. Poland D. Cooperative catalysis and chemical chaos: a chemical model for the Lorenz equations// Physica D: Nonlinear Phenomena. 1993. Vol. 65, No 1. P. 86–99.
21. Cuomo K.M., Oppenheim A.V. Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71, No 1. P. 65–68.
22. Peters F., Lobry L., Lemaire E. Experimental observation of Lorenz chaos in the Quincke rotor dynamics // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2005. Vol. 15, No 1. P. 013102.
23. Rucklidge A.M. Chaos in magnetoconvection // Nonlinearity. 1994. Vol. 7, No 6. P. 1565–1591.
24. Hemail N. Strange attractors in brushless DC motor // IEEE Transactions on Circuits and System-I: Fundamental Theory and Application. 1994. Vol. 41, No 1. P. 40-45.
25. Gibbon J.D., McGuinness M.J. The real and complex Lorenz equations in rotating fluids and lasers // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1982. Vol. 5, No 1. P. 108–122.
26. Fowler A.C., Gibbon J.D., McGuinness M.J. The complex Lorenz equations // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1982. Vol. 4, No 2. P. 139.
27. Mahmoud G.M., Ahmed M.E., Mahmoud E.E. Analysis of hyperchaotic complex Lorenz systems // International Journal of Modern Physics C. 2008. Vol. 19, No 10. P. 1477–1494.
28. Wang P.K.C., Masui K. Intermittent phase unlocking in a resonant three-wave interaction with parametric excitation // Physics Letters A. 1981. Vol. 81, No 2. P. 97–101.
29. Letellier C., Aguirre L.A., Maquet J., Lefebvre B. Analogy between a 10D model for nonlinear wave–wave interaction in a plasma and the 3D Lorenz dynamics // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2003. Vol. 179, No 1. P. 33–52.
30. Llibre J., Messias M., da Silva P.R. On the global dynamics of the Rabinovich system // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. Vol. 41, No 27. P. 275210.
31. Кузнецов C.П. Параметрический генератор хаоса на варакторном диоде с распадным механизмом ограничения неустойчивости // Журнал технической физики. 2016. Т. 86, No 3. C. 118–127.
32. Liu Y., Yang Q., Pang G. A hyperchaotic system from the Rabinovich system //Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. Vol. 234, No 1.P. 101–113.
33. Кузнецов C.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике // УФН. 2011. Т. 181. Вып. 2. С. 121–149.
34. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale’s 14th problem // Comp. Math. 2002. Vol. 2. P. 53–117.
35. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them // Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9–20.
36. Henon M. ́ A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys. 1976. Vol. 50. P. 69–77.
37. Rossler O.E. ̈ Continuous chaos: four prototype equations // Ann. New York Academy of Sciences. 1979. Vol. 316. P. 376–392.
38. Afraimovich V.S. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear and turbulent processes in physics. 1984. Vol. 1. P. 1133–1138.
39. Шильников Л.П. Бифуркации и странные аттракторы // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011, No 4(2). C. 364–366.
40. Козлов В.В. К задаче о падении тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде // Вестник МГУ, сер. 1, Математика, механика. 1990. No 1. С. 79–86.
41. Кузнецов C.П. Движение падающей пластины в жидкости: конечномерные модели и феномены сложной нелинейной динамики // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11, No 1. С. 3–49.
BibTeX
author = {Сергей Петрович Кузнецов},
title = {АТТРАКТОР ТИПА ЛОРЕНЦА В ЭЛЕКТРОННОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ГЕНЕРАТОРЕ И ЕГО ТРАНСФОРМАЦИЯ ПРИ НАРУШЕНИИ ТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА},
year = {2016},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {24},number = {3},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/ru/articles/attraktor-tipa-lorenca-v-elektronnom-parametricheskom-generatore-i-ego-transformaciya-pri},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2016-24-3-68-87},pages = {68--87},issn = {0869-6632},
keywords = {параметрический генератор,аттрактор Лоренца,аналоговое моделирование.},
abstract = {В работе рассматривается параметрический генератор, схема которого содержит три колебательных контура и квадратичный нелинейный реактивный элемент на основе операционного усилителя и аналогового умножителя, получены уравнения для амплитуд взаимодействующих мод. Обращение к данной задаче имеет целью реализовать механизм параметрического взаимодействия колебательных мод, приводящий к возникновению странного аттрактора типа Лоренца, без искажений вносимых нелинейностями порядка три и выше, отвечающих за переход от квазигиперболического аттрактора к квазиаттрактору. Исследование основано на сочетании схемотехнического моделирования с использованием программного продукта Multisim и численного решения сформулированных уравнений динамики системы в исходной форме и в виде редуцированных уравнений для медленно меняющихся комплексных амплитуд. Предложенная схема является новой и впервые позволяет в чистом виде наблюдать в радиотехническом устройстве распадный механизм генерации хаоса, описанный в свое время Пиковским, Рабиновичем и Трахтенгерцем применительно к параметрическому взаимодействию волн в магнитоактивной плазме. Помимо демонстрации аттрактора типа Лоренца и характерных для него особенностей динамики в рамках схемотехнического моделирования и на основе численного решения уравнений в условиях точного выполнения условий параметрического резонанса, проведено исследование трансформации аттрактора при введении отстройки частот и представлена соответствующая карта режимов на плоскости параметров. Показано, что при отклонении по частотам от точного параметрического резонанса вместо квазигиперболического аттрактора типа Лоренца реализуются аттракторы, хотя и обладающие с ним внешним сходством, но отличающиеся отсутствием робастности – при вариации параметров возможно разрушение хаоса с возникновением регулярных режимов. Скачать полную версию }}