Дробно-дифференциальные модели в гидромеханике
Образец для цитирования:
Тема и цель обзора. Два последних десятилетия отмечены широким распространением в теоретическом описании естественных процессов дробно-дифференциального аппарата. Замена целочисленного порядка производной вещественным (а то и комплексным) числом открывает непрерывное поле новых дифференциальных уравнений, в котором стандартный набор уравнений теоретический физики (волновое, диффузионное, и пр.) представлен отдельными колосками в точках с целочисленными координатами. Но что физически значат производные дробных порядков? Каковы общие причины появления дробных производных в уравнениях? Можно ли заранее предсказать появление дробных операторов в той или иной задаче? Вопросы эти пока не сняты с повестки дня и остаются в центре внимания каждой из конференций, посвящённых теории и применению этого аппарата. Эта тема развивается и в настоящей статье. Её целью является демонстрация дробно-дифференциального аппарата в наиболее, если можно так выразиться, классической области теоретической физики – гидродинамике. Исследуемые модели. В обзоре рассматриваются гидромеханические задачи, в которых естественным образом возникает потребность в производных дробного порядка: движение тел в вязкой жидкости, гидромеханика турбулентности, турбулентная диффузия. Никаких экзотических структур, фракталов, квантово-механических парадоксов. Результаты. В обзоре показано, как дробно-дифференциальное исчисление рождается на классическом поле гидродинамических задач под пером Гейзенберга, Вайцзеккера, Колмогорова, Обухова, Монина – теоретиков, которых невозможно заподозрить в некритическом отношении к математическому аппарату. Обсуждение. Собственно, весь обзор является непрерывным обсуждением «неизбежности странного мира» дробного исчисления (см. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: «Артишок», 2008), и то, что это обнаруживается уже «в стенах» классической гидромеханики, только усиливает убедительность выводов.
1. Rutman R.S. On physical interpretations of fractional integration and differentiation. Theoretical and Mathematical Physics, 1995, vol. 105, no. 3, pp. 1509–1519.
2. Uchaikin V.V. Self-similar anomalous diffusion and Levy-stable laws. Physics–Uspekhi, 2003, vol. 46, no. 8, pp. 821.
3. Sibatov R.T., Uchaikin V.V. Fractional differential approach to dispersive transport in semiconductors. Physics–Uspekhi, 2009, vol. 52, no. 10, pp. 1019–1043.
4. Uchaikin V.V. Fractional phenomenology of cosmic ray anomalous diffusion. Physics–Uspekhi. 2013. vol. 56, no. 11, pp. 1074–1119.
5. Uchaikin V.V. The Method of Fractional Derivatives. Ulyanovsk: «Artishok», 2008 (in Russian).
6. Uchaikin V.V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol’s I–II, Springer Berlin, HEP Beijing, 2013.
7. Boltzmann L. Zur Theorie der Elastishen Nachwirkungen. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss. 1874, vol.70, no. 2, pp. 275–306.
8. Volterra V. Lectures in the Mathematical Theory of the Struggle for Existence. Gauthier-Villars, Paris, 1931.
9. Volterra V. Theory of Functionals of Integral and Integro-Differential Equations, Dover, New York, 1959.
10. Rabotnov Y.N. Elementy nasledstvennoy mekhaniki tverdykh tel. Moscow, Nauka, 1977 (in Russian).
11. Valanis K.C. and Lee C.F. Endochronic theory of cyclic plasticity with application. J. Appl. Mech., 1984, vol. 51, pp. 367–374.
12. Blatt J.M. An alternative approach to the ergodic problem. Progress in Theoretical Physics, 1959, vol. 22, pp. 745–756.
13. Maugin G.A. and Muschik W. Thermodynamics with internal variables. Part I. General concepts. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1994, vol. 19, pp. 217–249.
14. Maugin G.A. and Muschik W. Thermodynamics with internal variables. Part II. Applications. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1994, vol. 19, pp. 250–289.
15. Maugin G. The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors (An Introduction). World Scientific, Singapure–New Jersey–London–Hong Kong, 1999.
16. Gemant A. A method of analyzing experimental results obtained from elastoviscous bodies. Physics, 1936, vol. 7, pp. 311–317.
17. Gerasimov A.N. A generalization of linear laws of deformation and its application to internal friction problem. Prikl. Mat. Mekh., 1948, vol. 12, no. 3. pp. 251–260 (in Russian).
18. Nigmatullin R.R. Fractional integral and its physical interpretation. Тheoretical and Mathematical Physics, 1992, vol. 90, no. 3, pp. 242–251.
19. Hilfer R. Classification theory for anequilibrium phase transitions. Phys Rev E., 1993, vol. 48, pp. 2466–2475.
20. Hilfer R. Fractional time evolution, In Applications of Fractional Calculus in Physics. R. Hilfer (ed.), World Scientific, Singapore, 2000, pp. 87–131.
21. Lukashchuk S.Yu. Time-fractional extensions of the Liouville and Zwanzig equation. Cent. Eur. J. Phys., 2013, vol. 11, no. 6, p. 740.
22. Kwok Sau Fa. A falling body problem through the air in view of the fractional derivative approach. Physica A, 2005, vol. 350, pp. 199–206.
23. Narahari Achar B.N., Hanneken J.W., Enck T., Clarke T. Dynamics of the fractional oscillator. Physica A, 2001, vol. 297, pp. 361–367.
24. Ryabov Ya.E. and Puzenko A. Damped oscillations in view of the fractional oscillator equation. Phys. Rev. B, 2002, vol. 66, 184201.
25. Baleanu D., Golmankhaneh A.K., Nigmatullin R., Golmankhaneh Ali K. Fractional Newtonian mechanics Cent. Eur. J. Phys., 2010, vol. 8, no. 1, pp. 120–125.
26. Slezkin N.A. Dynamics of Viscous Incompressible Fluid, Moscow, Gostekhizdat, 1955 (in Russian).
27. Boussinesq V.J. Sur la resistance quoppose un fluide indefini au repose...Compt.Rend.de l’Academ. des Sci. 1885, vol. 100, pp. 935–937.
28. Basset A.B. Treatise on Hydrodynamics 2.,Deighton, Bell and Co., Cambridge. UK, 1888.
29. Zener C.M. Anelasticity of metals. Suppl. Nuovo Cimento, 1958, vol. 7, p. 544.
30. Uchaikin V.V., Sibatov R.T. Fractional differential kinetics of dispersive transport as the consequence of its self-similarity. JETP Letters, 2007, vol. 86, no. 8, pp. 512–516.
31. Uchaikin V.V., Sibatov R.T. Fractional Kinetics in Solids, World Scientific, 2013.
32. Landau L.D., Lifschitz E.M. Fluid Mechanics. New York: Pergamon Press, 1987.
33. van Hove L. The approach to equilibrium in quantum statistics: A perturbation treatment to general order. Physica, 1957, vol. 23, pp. 441–480.
34. Prigogine I., Resibois P. On the kinetics of the approach to equilibrium. Physica, 1961, vol. 27, pp. 629–646.
35. Brout R., Prigogine I. Statistical mechanics of irreversible processes, Physica, 1956, vol. 22, pp. 35–47, 263–272, 621–636.
36. Resibua P., De Lener M. Classical Kinetic Theory of Liquids and Gases. Moscow, Mir, 1980 (in Russian).
37. Zwanzig R. Nonequilibrium Statistical Mechanics. New York: Oxford University Press, 2001.
38. Montroll E . W. In Fundamental Problems in Statistical Mechanics, ed. E. Cohen, North-Holland, Amsterdam, 1962.
39. Chester G.V. The theory of irreversible processes, Rep. on Progress in Physics, 1963, vol. 26, p. 411.
40. Alder B.J., Alley W.E. Generalized Hydrodynamics, Physics Today, 1984, vol. 37, pp. 56–83.
41. Richardson L.F. Atmospheric diffusion on a distance-neighbor graph. Proc. Roy Soc. London, Ser A, 1926, vol. 110, pp. 709–737.
42. Kolmogorov A.N. Scattering of energy for locally isotropic turbulence. Dokl. Acad. Sci. USSR, 1941, vol. 32, pp. 16–18 (in Russian).
43. Obukhov A.M. Energy distribution in the spectrum of a turbulent flow. Dokl. Acad. Sci. USSR, 1941, vol. 32, pp. 22–24 (in Russian).
44. Jullien M.C., Paret J., Tabeling P. Richardson pair dispersion in two-dimensional turbulence. Phys. Rev. Lett., 1999, vol. 82, p. 2872.
45. Tchen C.M. Diffusion of Particles in Turbulent Flow. Advances in Geophysics, 1959, vol. 9, pp. 165–174.
46. Heisenberg W. Zur Statistischen Theorie der Turbulenz. Zeitschrift fuer Physik 1948, vol. 124, pp. 628–657.
47. Monin A.S. Yaglom A.M. Statistical Hydromechanics. Part I. M.: Nauka, 1965; Part II. Moscow: Nauka, 1967 (in Russian).
48. Shlesinger M., Klafter J., West B. Levy walks with applications to turbulence and chaos. Physica, 1986, vol. 140A, pp. 212–218.
49. Schonfeld J.C. Integral diffusivity. ̈ Journal of Geophysical Research, 1962, vol. 67, no. 8, pp. 3187–3199.
50. Tchen C.M. Transport processes as foundations of the Heisenberg and Obukhoff theories of turbulence. Phys Rev., 1954, vol. 93, no. 1, pp. 4–14.
51. Uchaikin V.V. Mechanics. Fundamentals of Continuum Mechanics. SPb, Lan, 2016 (in Russian).
52. Uchaikin V.V. On time-fractional representation of an open system response. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2016, vol. 19, no. 5, pp. 1306–1315.
53. Klimontovich Yu.L. Introduction to the Physics of Open Systems. M., Janus-K, 2002 (in Russian).
54. Lindenberg K., West B.J. The Nonequilibrium Statistical Mechanics of Open and Closed Systems, Wiley, VCH Publishers, New York, 1990.
55. Di-Ventra M. Electrical Transport in Nanoscale Systems. Cambridge University Press, 2008.
56. Uchaikin V.V. On the fractional-differential Liouville equation as an equation of dynamics of an open system. Scientific bulletins of the Belgorod University, series: Mathematics. Physics, 2014, vol. 25(196), no. 37, pp. 58–67 (in Russian).
57. Slonimsky G.L. On the law of deformation of highly elastic polymer bodies. Dokl. AN SSSR, 1961, vol. 140, no. 2, pp. 343–346 (in Russian).
BibTeX
author = {Владимир Васильевич Учайкин},
title = {Дробно-дифференциальные модели в гидромеханике},
year = {2019},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {27},number = {1},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/ru/articles/drobno-differencialnye-modeli-v-gidromehanike},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2019-27-1-5-40},pages = {5--40},issn = {0869-6632},
keywords = {дробный лапласиан,нелокальность,турбулентная диффузия,проекционные операторы,открытые системы},
abstract = {Тема и цель обзора. Два последних десятилетия отмечены широким распространением в теоретическом описании естественных процессов дробно-дифференциального аппарата. Замена целочисленного порядка производной вещественным (а то и комплексным) числом открывает непрерывное поле новых дифференциальных уравнений, в котором стандартный набор уравнений теоретический физики (волновое, диффузионное, и пр.) представлен отдельными колосками в точках с целочисленными координатами. Но что физически значат производные дробных порядков? Каковы общие причины появления дробных производных в уравнениях? Можно ли заранее предсказать появление дробных операторов в той или иной задаче? Вопросы эти пока не сняты с повестки дня и остаются в центре внимания каждой из конференций, посвящённых теории и применению этого аппарата. Эта тема развивается и в настоящей статье. Её целью является демонстрация дробно-дифференциального аппарата в наиболее, если можно так выразиться, классической области теоретической физики – гидродинамике. Исследуемые модели. В обзоре рассматриваются гидромеханические задачи, в которых естественным образом возникает потребность в производных дробного порядка: движение тел в вязкой жидкости, гидромеханика турбулентности, турбулентная диффузия. Никаких экзотических структур, фракталов, квантово-механических парадоксов. Результаты. В обзоре показано, как дробно-дифференциальное исчисление рождается на классическом поле гидродинамических задач под пером Гейзенберга, Вайцзеккера, Колмогорова, Обухова, Монина – теоретиков, которых невозможно заподозрить в некритическом отношении к математическому аппарату. Обсуждение. Собственно, весь обзор является непрерывным обсуждением «неизбежности странного мира» дробного исчисления (см. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: «Артишок», 2008), и то, что это обнаруживается уже «в стенах» классической гидромеханики, только усиливает убедительность выводов. }}