Гиперболический хаос в осцилляторе Бонхоффера–ван дер Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью и периодически модулируемым параметром возбуждения
Образец для цитирования:
Тема и цель исследования. Цель работы состоит в рассмотрении простой в реализации системы, демонстрирующей гиперболический аттрактор Смейла–Вильямса, на основе осциллятора Бонхоффера–ван дер Поля, поочередно пребывающего в состоянии возбуждения или подавления благодаря периодической модуляции параметра внешним управляющим сигналом и дополненного цепью запаздывающей обратной связи. Исследуемые модели. Сформулирована математическая модель, описываемая неавтономным уравнением второго порядка с запаздывающим аргументом. Указана схема электронного устройства, реализующего данный тип хаотического поведения. Результаты. Представлены результаты численного моделирования динамики системы, включая реализации, спектры колебаний, графики показателей Ляпунова, карту режимов на плоскости параметров. Проведено схемотехническое моделирование электронного устройства с помощью программного продукта Multisim. Обсуждение. Присутствие аттрактора Смейла–Вильямса обусловлено тем, что преобразование фаз заполнения для генерируемой системой последовательности радиоимпульсов отвечает растягивающему в целое число раз отображению окружности. Особенность системы в том, что передача возбуждения от одной к следующей стадии активности с удвоением (или утроением) фазы осуществляется резонансным образом, на гармонике релаксационных колебаний, имеющих вдвое (или втрое) больший период, чем у малых колебаний. В силу гиперболической природы аттрактора генерируемый хаос грубый, то есть характеризуется малой чувствительностью к вариации параметров устройства и его компонентов. Приведенная схема отвечает низкочастотному устройству, но может быть адаптирована для генераторов хаоса также на высоких и сверхвысоких частотах.
1. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical Journal, 1961, vol. 1, no. 6, pp. 445–466.
2. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proceedings of the IRE, 1962, vol. 50, no. 10, pp. 2061–2070.
3. Izhikevich E.M., FitzHugh R. FitzHugh–Nagumo model. Scholarpedia, 2006, vol. 1, no. 9, p. 1349.
4. Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. The MIT Press, Cambridge, MA. 2010.
5. Dmitrichev А.S., Klinshov V.V., Kirillov S.Y., Maslennikov O.V., Shapin D.S., Nekorkin V.I. Nonlinear dynamical models of neurons: Review. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 26, iss. 4, pp. 5–58 (in Russian).
6. Smale S. Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American mathematical Society, 1967, vol. 73, no. 6, pp. 747–817.
7. Dynamical Systems with Hyperbolic Behaviour, D.V.Anosov (Ed.). Encyclopaedia Math. Sci., Dynamical Systems, vol. 9, Berlin, Springer, 1995.
8. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1997, vol. 7, no. 09, pp. 1953–2001.
9. Sinai Ya.G. The Stochasticity of Dynamical Systems. Selected Translations. Selecta Math. Soviet., 1981, vol. 1, no. 1, pp. 100–119.
10. Katok A. and Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Encyclopedia Math. Appl., vol. 54, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1995.
11. Afraimovich V. and Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems. AMS/IP Stud. Adv. Math., 2003, vol. 28.
12. Bonatti C., D ́ıaz L.J., Viana M. Dynamics beyond uniform hyperbolicity: A global geometric and probobalistic perspective. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 2005, vol. 102, Mathematical Physics, III, Springer-Verlag, Berlin, p. 2.
13. Ruelle D. Strange attractors. The Mathematical Intelligencer, 1980, vol. 2, no. 3, p. 126–137.
14. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of oscillators. Pergamon Press, Oxford, 1966.
15. Pugh C., Peixoto M.M. Structural stability. Scholarpedia, 2008, vol. 3, no. 9. 4008.
16. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Oscillations and Waves in Linear and Nonlinear Systems. Kluwer Academic Publisher, 1989.
17. Kuznetsov S.P. Dynamical chaos and uniformly hyperbolic attractors: From mathematics to physics. Physics-Uspekhi, 2011, vol. 54, no. 2, pp. 119–144.
18. Kuznetsov S.P., Ponomarenko V.I. Realization of a strange attractor of the Smale–Williams type in a radiotechnical delay-fedback oscillator. Technical Physics Letters, 2008, vol. 34, no. 9, pp. 771–773.
19. Arzhanukhina D.S., Kuznetsov S.P. Robust chaos in autonomous time-delay system. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2014, vol. 22, no. 2, pp. 36–49 (in Russian).
20. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity of chaotic dynamics in time-delay systems. Phys. Rev. E, 2016, vol. 94, no. 1, 010201.
21. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2018, vol. 56, pp. 227–239.
22. Kuznetsov S.P., Sedova Yu.V. Hyperbolic chaos in systems based on FitzHugh–Nagumo model neurons. Regular and Chaotic Dynamics, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 329–341.
23. Doroshenko V.M., Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Smale–Williams solenoids in a system of coupled Bonhoeffer–van der Pol oscillators. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 14, no. 4, p. 435–451.
24. Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos in a system of two Froude pendulums with alternating periodic braking. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019, vol. 67, pp. 152–161.
25. Bellman R.E., Cooke K.L. Differential-difference equations. Academic Press, 2012.
26. El’sgol’ts L.E., Norkin S.B. Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments. Academic Press, 1973.
27. Farmer J. D. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1982, vol. 4, no. 3, pp. 366–393.
28. Yanchuk S., Giacomelli G. Spatio-temporal phenomena in complex systems with time delays. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2017, vol. 50, no. 10, p. 103001.
29. Balyakin А.А., Ryskin N.M. Peculiarities of calculation of the Lyapunov exponents set in distributed self-oscillated systems with delayed feedback. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2007, vol. 15, no. 6, pp. 3–21 (in Russian).
30. Koloskova A.D., Moskalenko O.I., Koronovskii A.A. A method for calculating the spectrum of Lyapunov exponents for delay systems. Technical Physics Letters, 2018, vol. 44, no. 5, pp. 374–377.
31. Sveshnikov A.A. Applied methods of the theory of random functions. Elsevier, 2014.
32. Jenkins G.M., Watts D.G. Spectral analysis and its applications. Holden-Day, 1969.
BibTeX
author = {Сергей Петрович Кузнецов and Юлия Викторовна Седова },
title = {Гиперболический хаос в осцилляторе Бонхоффера–ван дер Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью и периодически модулируемым параметром возбуждения},
year = {2019},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {27},number = {1},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/ru/articles/giperbolicheskiy-haos-v-oscillyatore-bonhoffera-van-der-polya-s-dopolnitelnoy},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2019-27-1-77-95},pages = {77--95},issn = {0869-6632},
keywords = {Динамическая система,запаздывание,Генератор хаоса,аттрактор,показатель Ляпунова,схемотехническое моделирование},
abstract = {Тема и цель исследования. Цель работы состоит в рассмотрении простой в реализации системы, демонстрирующей гиперболический аттрактор Смейла–Вильямса, на основе осциллятора Бонхоффера–ван дер Поля, поочередно пребывающего в состоянии возбуждения или подавления благодаря периодической модуляции параметра внешним управляющим сигналом и дополненного цепью запаздывающей обратной связи. Исследуемые модели. Сформулирована математическая модель, описываемая неавтономным уравнением второго порядка с запаздывающим аргументом. Указана схема электронного устройства, реализующего данный тип хаотического поведения. Результаты. Представлены результаты численного моделирования динамики системы, включая реализации, спектры колебаний, графики показателей Ляпунова, карту режимов на плоскости параметров. Проведено схемотехническое моделирование электронного устройства с помощью программного продукта Multisim. Обсуждение. Присутствие аттрактора Смейла–Вильямса обусловлено тем, что преобразование фаз заполнения для генерируемой системой последовательности радиоимпульсов отвечает растягивающему в целое число раз отображению окружности. Особенность системы в том, что передача возбуждения от одной к следующей стадии активности с удвоением (или утроением) фазы осуществляется резонансным образом, на гармонике релаксационных колебаний, имеющих вдвое (или втрое) больший период, чем у малых колебаний. В силу гиперболической природы аттрактора генерируемый хаос грубый, то есть характеризуется малой чувствительностью к вариации параметров устройства и его компонентов. Приведенная схема отвечает низкочастотному устройству, но может быть адаптирована для генераторов хаоса также на высоких и сверхвысоких частотах. }}