Методические заметки по нелинейной динамике

Чтобы описать явления случайных нелинейных волн в жидкости, мы должны знать точно или приблизительно, как происходит процесс срыва вихрей. Для этого удобно использовать модели, основанные на физических соображениях и некоторых экспериментальных данных. Основное внимание в этом обзоре будет уделено случайным волнам, возникающим, например, при срывном флаттере. Такие волны часто возбуждаются в жидкости, и они являются одной из основных причин катастроф в морях и океанах.

Метод Галеркина в сочетании с методом малого параметра применяется для изучения уравнения типа Рауса динамики двумерных течений идеальной несжимаемой жидкости в прямоугольной области. Полученные в результате конечномерные модели сохраняют с течением времени поле вихря, если в качестве его начального распределения выбрана одна из собственных функций оператора Лапласа. Численно изучается эволюция малых возмущений таких решений.

Обсуждается методически важная бифуркация – Богданова–Такенса. Для простейшей модели описаны связанные с ней бифуркации и эволюция фазовых портретов. Представлены примеры нелинейных систем с такой бифуркацией. Обсуждается метод построения дискретных моделей, основанный на полуявной схеме Эйлера. На основе непрерывного прототипа построена дискретная модель осциллятора Богданова–Такенса, дан аналитический анализ ее бифуркаций коразмерности один и два.

Развита нестационарная теория отражательного клистрона на основе дифференциального уравнения с запаздыванием. Представлен анализ условий самовозбуждения, стационарных режимов генерации и условий их устойчивости. Демонстрируется применение теории для расчета выходных характеристик миниатюрного отражательного клистрона субмиллиметрового диапазона. Проводится сопоставление теории с результатами численного моделирования с помощью метода «частиц в ячейке».

Выдвигается предложение провести обсуждение терминов и определений в области описания экспериментальных работ с целью достижения их однозначного употребления в учебной литературе и других публикациях.

В статье описан метод, позволяющий получить аналитическое выражение для нелинейной зависимости величины поляризации сегнетоэлектрика от величины внешнего электрического поля. Для нахождения аналитической связи использована функция специального класса – Kml-функция второго порядка.

Математическая модель Лотки–Вольтерры (часто её называют моделью «хищник–жертва») применима для описания различных процессов в биологии, экологии, медицине, в социальных исследованиях, в истории, в радиофизике и других науках. В настоящем обзоре, который во многом носит методологический характер, рассмотрены варианты этой модели и сходных с ней применительно к анализу ряда природных и социальных явлений.

Приводятся схемы электронных устройств, представляющих собой неавтономные динамические системы с гиперболическим аттрактором типа Смейла–Вильямса, и результаты их моделирования в программной среде NI Multisim. Радиотехнические устройства со структурно устойчивым гиперболическим хаосом, подобные описанным в статье, могут найти применение в системах скрытой коммуникации, шумовой локации, для криптографических систем, для генерации случайных чисел.

Рассматривается задача описания динамики связанных автоколебательных осцилляторов с помощью дискретных отображений на торе. Обсуждается методология построения таких отображений как простейших формальных моделей, так и физически мотивированных систем. Обсуждаются отличия случаев диссипативной и реактивной связи осцилляторов. С помощью метода карт ляпуновских показателей выявляются области двух- и трехчастотной квазипериодичности и хаоса. Исследуется и сопоставляется устройство резонансной паутины Арнольда для разных моделей.

Подход, в рамках которого картина бифуркаций дискретных отображений рассматривается в пространстве инвариантов матрицы возмущений (матрицы Якоби), распространен на случай трех и четырех измерений. Выявлена картина поверхностей, линий и точек бифуркаций в этом случае, которая является универсальной для всех отображений. Представлены примеры отображений, параметры которых регулируются непосредственно инвариантами матрицы Якоби.