scale invariance

Работа посвящена изучению моделей кучи песка – открытых нелинейных систем, демонстрирующих возникновение лавинообразного развивающегося отклика на единичное возмущение устойчивого состояния. Подробно рассмотрены пять наиболее известных вариантов правил в двумерной постановке – модели Дхара–Рамасвами, Пастор-Саторраса–Веспиньяни, Федеров, Манны и Бака–Танга–Визенфельда.

Иерархическая модель дефектообразования позволяет с единых позиций рассматривать как обычную, так и самоорганизованную критичность. Масштабно-инвариантное критическое состояние в этой модели представлено неподвижными точками перенормировочного преобразования, связанного с подъемом на следующий уровень иерархии. Устойчивые неподвижные точки этого преобразования соответствуют самоорганизованной критичности, а неустойчивые – обычной. В работе перенормировочный подход к критическому состоянию дополнен динамическим, более традиционным для теории самоорганизованной критичности.

В работе представлено полное решение модели Манны – двумерной консервативной модели типа кучи песка с изотропными в среднем правилами передачи песчинок. Показатели распределений лавин по основным характеристикам (размер, площадь, периметр, длительность, кратность опрокидывания) определены для этой модели как аналитически, так и численно. Предлагаемое решение основывается на пространственно-временной декомпозиции лавин, описываемых посредством слоев и волн опрокидывания, а также – на разделении движения песчинок на направленное и ненаправленное.

Работа посвящена численному и аналитическому исследованию двух самоорганизованно критических моделей типа кучи песка, имеющих анизотропную динамику распространения активности, – модели Дхара–Рамасвами и дискретной модели Федеров. Теоретически определен полный набор критических показателей для этих моделей. Дается систематическое изложение метода конечно-размерного скейлинга и его применения для решения самоорганизованно критических систем.