Асимптотическое исследование локальной динамики семейств уравнений Кана–Хилларда
Образец для цитирования:
Тема исследования. Исследована динамика известного нелинейного уравнения Кана–Хилларда. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и исследованы бифуркационные явления. Цель. Построение конечномерных и специальных бесконечномерных уравнений, которые играют роль нормальных форм. Методы исследования. Используются как стандартные методы изучения локальной динамики, основанные на построении нормальных форм на центральных многообразиях, так и специальные методы бесконечномерной нормализации. Предложен алгоритм сведения исходной краевой задачи к уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Результаты. Построены конечномерные и специальные бесконечномерные уравнения, которые играют роль нормальных форм. Их нелокальная динамика определяет поведение решений из малой окрестности исходной краевой задачи. Приведены асимптотические на промежутке [t0, ∞) формулы для решений. Обсуждение. Исследование кинетик расслоения в бинарных смесях с заданной концентрацией компонентов является одной из актуальных задач физики конденсированного состояния. Уравнение Кана–Хилларда – это одна из моделей, которая используется при изучении спонтанного разделения фаз (бинарного) вещества (сплава), где неизвестная функция является относительной концентрацией компонента вещества.
1. Краснюк И.Б., Стефанович Л.И., Юрченко В.М. Колебания концентрации в ограниченных бинарных смесях с учётом поверхностных эффектов // Журнал технической физики. 2007. Т. 77, No 11. С. 55–62.
2. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phis. 1958. Vol. 28. С. 258–267.
3. Кащенко С.А. Бифуркации в уравнении Курамото–Сивашинского // Теоретическая и математическая физика. 2017. Т. 192, No 1. С. 23–40. ISSN 0564-6162. DOI: 10.4213/tmf9195 URL: http://mi.mathnet.ru/tmf9195 (дата обр. 26.06.2017).
4. Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Пер. с англ. Л.М. Лермана. М.: Мир, 1980. 368 с. URL: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0611154 (дата обр. 15.03.2017).
5. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 252 с. URL: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0542758 (дата обр. 14.03.2017).
6. Кащенко С.А., Преображенская М.М. Бифуркации в обобщенном уравнении Кортевега–де Фриза // Известия высших учебных заведений. Математика. 2018. No 2. С. 54–68. ISSN 0021-3446. URL: http://mi.mathnet.ru/ivm9330 (дата обр. 20.12.2017).
7. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1997. No 7. С. 4–32. ISSN 0005-2310. URL: http://mi.mathnet.ru/at2615 (дата обр. 24.04.2017).
8. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. О системе типа реакция–диффузия–перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43, No 7. С. 1005–1017. ISSN 0044-4669. URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf991 (дата обр. 24.04.2017).
9. Кащенко С.А. Нормальная форма для уравнения Кортевега–де Фриза–Бюргерса // Доклады Академии наук. 2016. Т. 468, No 4. С. 383–386. ISSN 0869-5652. DOI: 10.7868/S0869565216160052. URL: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3559770 (дата обр. 09.06.2017).
BibTeX
author = {Светлана Петровна Плышевская},
title = {Асимптотическое исследование локальной динамики семейств уравнений Кана–Хилларда},
year = {2019},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {27},number = {1},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/ru/articles/asimptoticheskoe-issledovanie-lokalnoy-dinamiki-semeystv-uravneniy-kana-hillarda},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2019-27-1-63-76},pages = {63--76},issn = {0869-6632},
keywords = {динамика,устойчивость,нормальные формы,уравнение Кана–Хилларда},
abstract = {Тема исследования. Исследована динамика известного нелинейного уравнения Кана–Хилларда. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и исследованы бифуркационные явления. Цель. Построение конечномерных и специальных бесконечномерных уравнений, которые играют роль нормальных форм. Методы исследования. Используются как стандартные методы изучения локальной динамики, основанные на построении нормальных форм на центральных многообразиях, так и специальные методы бесконечномерной нормализации. Предложен алгоритм сведения исходной краевой задачи к уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Результаты. Построены конечномерные и специальные бесконечномерные уравнения, которые играют роль нормальных форм. Их нелокальная динамика определяет поведение решений из малой окрестности исходной краевой задачи. Приведены асимптотические на промежутке [t0, ∞) формулы для решений. Обсуждение. Исследование кинетик расслоения в бинарных смесях с заданной концентрацией компонентов является одной из актуальных задач физики конденсированного состояния. Уравнение Кана–Хилларда – это одна из моделей, которая используется при изучении спонтанного разделения фаз (бинарного) вещества (сплава), где неизвестная функция является относительной концентрацией компонента вещества. }}