НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ, МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Образец для цитирования:
Предложен новый метод построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений, основанный на последовательном применении метода возмущений и аппарата непрерывных дробей. Показано, что точные уединенно-волновые решения возникают в предельном случае как суммы геометрических рядов метода возмущений на основе линеаризованной задачи. Продемонстрировано, что непрерывная дробь, соответствующая ряду возмущений, обрывается, и оставшаяся подходящая дробь дает выражение для искомого точного солитоноподобного решения. Установлено, что порядок подходящей дроби не меньше удвоенного порядка полюса решения исходного уравнения. Эффективность метода продемонстрирована на решении интегрируемых уравнений: семейства Кортевега–де Вриза 5-го порядка, третьего порядка с 5-ю произвольными постоянными, Калоджеро–Дегаспериса–Фокаса и неинтегрируемого уравнения Курамото–Сивашинского. Проведенный анализ показал, что в случае интегрируемых уравнений непрерывная дробь, соответствующая степенному ряду метода возмущений, обрывается безусловно, то есть ряд является геометрическим или становится таковым после перегруппировки слагаемых. Для неинтегрируемых уравнений требование обрывания непрерывной дроби, равносильное геометричности ряда метода возмущений, приводит к условиям на коэффициенты исходного уравнения, необходимым для существования точных солитоноподобных решений. К преимуществам метода, который может быть легко реализован с помощью любой из систем компьютерной математики, можно отнести возможность работы с уравнениями, решение которых имеет полюс нулевого, дробного или высокого натурального порядка.
1. Hirota R. Exact solution of the Korteweg–de Vries equation for multiple collisions of solitons // Phys. Rev. Lett. 1971. Vol. 27. Pp. 1192–1194.
2. Baker G.A.Jr., Graves-Morris P. Pade Approximants, Cambridge: Cambridge U.P., 1996.
3. Manevitch L.I. Linear and nonlinear mathematical physics: from harmonic waves to solitons // Soros. Obrazov. Journ. 1996. N1. Pp. 86–93 (Russian).
4. Jones W.B., Thron W.J. Continued fractions: analytic theory and applications. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.
5. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V. The perturbation method and exact solutions of nonlinear dynamics equations for media with microstructure // Computational Continuum Mechanics. 2016. Vol. 9, N2. Pp. 182–191 (Russian).
6. Lambert F. and Musette M. Solitary waves, padeons and solitons // Lect. Notes Math. 1984. Vol. 1071. Pp. 197–212.
7. Lambert F., Musette M. Solitons from a direct point of view: padeons // J. Comp. Appl. Math. 1986. Vol. 15. Pp. 235–249.
8. Baikov V.A., Khusnutdinova K.R. Formal linearization and exact solutions of some nonlinear partial differential equations // J. Nonlin. Math. Phys. 1996. N3. Pp. 139–146.
9. Bender C.M., Milton K.A. Continued fraction as a discrete nonlinear transform // J. Math. Phys. 1994. Vol. 35, N1. Pp. 364–367.
10. Cohen H. Numerical Approximation Methods. New York: Springer-Verlag, 2011.
11. Khovansky A.N. Applications of continued fractions and their generalization to problems in approximation theory. Groningen: P. Noordhoff N.V., 1963.
12. Meshkov A.G., Sokolov V.V. Integrable evolution equations with the constant separant// Ufa Math. J. 2012. Vol. 4, N3. Pp. 104–153.
13. Encyclopedia of Integrable Systems / A.B. Shabat, V.E. Adler, V.G. Marikhin, V.V. Sokolov (Eds.), L.D. Landau Institute for Theoretical Physics – Research Institute for Symbolic Computations, J. Kepler Universit ̈at, 2007.
14. Gandarias M.L., Saez S. Traveling-wave solutions of the Calogero–Degasperis–Fokas equation in 2+1 dimensions // Theor. Math. Phys. 2005. Vol. 144, N1. Pp. 916–926.
15. Ryabov P.N. Exact solutions of the Kudryashov–Sinelshchikov equation // Appl. Math. Comput. 2010. Vol. 217, N7. Pp. 3585–3590.
16. The Painlev’ Property: One Century Later / R. Conte (Ed.). New York: Springer, 1999.
17. Kudryashov N.A. Methods of nonlinear mathematical physics. Dolgoprudnyj: Izd. Dom Intellekt, 2010.
BibTeX
author = {Александр Исаевич Землянухин and Андрей Владимирович Бочкарёв},
title = {НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ, МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ},
year = {2016},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {24},number = {4},
url = {https://old-andjournal.sgu.ru/ru/articles/nepreryvnye-drobi-metod-vozmushcheniy-i-tochnye-resheniya-nelineynyh-evolyucionnyh},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2016-24-4-71-85},pages = {71--85},issn = {0869-6632},
keywords = {Непрерывные дроби,метод возмущений,точные решения,нелинейные эволюционные уравнения.},
abstract = {Предложен новый метод построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений, основанный на последовательном применении метода возмущений и аппарата непрерывных дробей. Показано, что точные уединенно-волновые решения возникают в предельном случае как суммы геометрических рядов метода возмущений на основе линеаризованной задачи. Продемонстрировано, что непрерывная дробь, соответствующая ряду возмущений, обрывается, и оставшаяся подходящая дробь дает выражение для искомого точного солитоноподобного решения. Установлено, что порядок подходящей дроби не меньше удвоенного порядка полюса решения исходного уравнения. Эффективность метода продемонстрирована на решении интегрируемых уравнений: семейства Кортевега–де Вриза 5-го порядка, третьего порядка с 5-ю произвольными постоянными, Калоджеро–Дегаспериса–Фокаса и неинтегрируемого уравнения Курамото–Сивашинского. Проведенный анализ показал, что в случае интегрируемых уравнений непрерывная дробь, соответствующая степенному ряду метода возмущений, обрывается безусловно, то есть ряд является геометрическим или становится таковым после перегруппировки слагаемых. Для неинтегрируемых уравнений требование обрывания непрерывной дроби, равносильное геометричности ряда метода возмущений, приводит к условиям на коэффициенты исходного уравнения, необходимым для существования точных солитоноподобных решений. К преимуществам метода, который может быть легко реализован с помощью любой из систем компьютерной математики, можно отнести возможность работы с уравнениями, решение которых имеет полюс нулевого, дробного или высокого натурального порядка. Скачать полную версию }}