Бифуркации в динамических системах различной природы

Оптические системы с двумерной обратной связью демонстрируют широкие возможности по исследованию процессов зарождения и развития диссипативных структур. Обратная связь позволяет воздействовать на динамику оптической системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и другими устройствами.

В обзорном плане излагаются основные рузультаты, характеризу­ющие сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в контексте теории критических явлений. Даны компьютерные иллюстрации скейлинга. Представлены приближенный ренормгрупповой анализ, позволяющий построить процедуру ренормпреобразования в явной форме, и примеры нелинейных систем, демонстрирующих обсуждаемый тип критического поведения.

Показано, что в модели Максвелла–Блоха реализуется режим устойчивых двухчастотных колебаний. Установлено, что происходит рождение устойчивого двумерного эргодического тора из замкнутой особой кривой. Найдены условия перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода тора. Установлено, что в точках бифуркаций удвоения рождается структурно неустойчивый трехмерный тор, который порождает устойчивый удвоенный эргодический тор. Найдена аналитическая аппроксимация, удовлетворительно описывающая динамику системы вблизи точки рождения тора.

Предложена новая четырехмерная модель с квазипериодической динамикой. Аттрактор в виде тора возникает в результате седло-узловой бифуркации, которая может рассматриваться как представитель семейства, охватывающего различные типы катастроф голубого неба. В той же системе в другой области параметров тор рождается в результате бифуркации Неймарка–Сакера.

Показано, что неподвижная точка уравнения ренормгруппы, отвечающая системе двух подсистем с однонаправленной связью – унимодального отображения с показателем степени экстремума κ и отображения, аккумулирующего сумму функций состояния первой подсистемы, претерпевает при изменении параметра κ бифуркацию удвоения периода, что приводит к рождению цикла периода 2 в уравнении ренормгруппы. При κ = 2 это решение отвечает ситуации на пороге возникновения хаоса, обозначаемой как критическое поведение типа C (Kuznetsov and Sataev, Phys. Lett., 1992, 236).

Сформулирована путевая бифуркационная задача. Проведено ее обсуждение для классического результата Ф.Трикоми о существовании гомоклинической бифуркации в диссипативной маятниковой системе. Сделан обзор результатов, решающих путевые гомоклинические бифуркационные задачи для системы Лоренца.

На примере нелинейной модели Ресслера рассматривается эффект воздействия случайных возмущений на предельные циклы динамической системы. После того как интенсивность шума становится достаточно большой, наблюдается размытие детерминированного цикла. В данной работе исследуются обратные бифуркации уменьшения кратности стохастических циклов при росте уровня случайных возмущений. Представлен анализ эмпирических плотностей распределения точек пересечения пучка случайных траекторий с секущими плоскостями детерминированной орбиты.